De hoge inflatie dwingt ondernemingen en financiële instellingen zorgvuldiger te kijken naar de invloed van renterisico’s op het resultaat en de marktwaarde van afzonderlijke of gesommeerde activa en passiva. Daarvoor bestaan diverse methoden. Dit artikel gaat nader in op een van die methoden, namelijk die van de duration (D).
Bij duration wordt specifiek ingezoomd op de modified duration (Dm). Deze grootheid is te beschouwen als een elasticiteitscoëfficiënt. Dat is een dimensieloze maatstaf, ook wel gevoeligheidsfactor of vermenigvuldigingsgetal genoemd. In de economie is elasticiteit een getal dat de mate van afhankelijkheid of gevoeligheid weergeeft waarin een afhankelijke variabele (het gevolg) reageert op een verandering van een onafhankelijke variabele (de oorzaak).
Duration
Duration heeft te maken met looptijd, de economische looptijd. Zij moet onderscheiden worden van de juridische of contractuele looptijd van een financieel actief of passief. Ook moet zij onderscheiden worden van de rentetypische looptijd die de momenten van renteherzieningen weergeeft. Economische looptijd of duration gaat over de naar jaren gewogen, gemiddelde looptijd van verdisconteerde of contant gemaakte kasstromen. De economische looptijd is altijd korter dan de contractuele looptijd. Dat komt door de tussentijdse rentebetalingen en aflossingen. Uitzondering daarop zijn de zero vastrentende leningen. Deze hebben geen tussentijdse rentestromen en aflossingen en daardoor is bij dergelijke balansposten de economische looptijd gelijk aan de contractuele looptijd.
Berekening van de duration
De berekening van D lijkt ingewikkeld maar is gebaseerd op een vrij eenvoudig (excel)format dat bepaald wordt door een aantal variabelen: de contractuele looptijden, de nominale kasstromen, de verdisconteerde kasstromen, de wegingscoëfficiënten en de gewogen economische looptijd. Stel er is een resterende looptijd van 3 jaar; een fixed rate of couponrente van 7 procent; een marktrente van 8 procent en een onderliggende waarde van een balanspost van 1.000 euro. Voor elke variabele is in figuur 1 een kolom gereserveerd.
De present values in K3 zijn berekend op basis van de nominale cashflows (CF’s) in K2 die verdisconteerd zijn tegen de marktrente (8%). De wegingscoëfficiënten in K4 zijn uitgedrukt in perunages. In K5 kan met behulp van de gewogen contante CF’s de economische looptijd berekend worden. De uitkomst is uitgedrukt in jaren en is in dit voorbeeld afgerond 2,805. Dat wil dus zeggen dat de duration 2,805 jaar is.
Modified duration (Dm)
Als de duration is bepaald, kan de volgende stap gezet worden: het berekenen van de modified of aangepaste duration. Omdat het causale of oorzakelijke verband tussen de relatieve verandering van de marktrente en – als gevolg daarvan – de relatieve verandering van de marktwaarde van de onderliggende balanspost invers is, is de Dm een maatstaf met een negatief teken. Er is sprake van een negatieve elasticiteitsmaatstaf.
Overeenkomst tussen elasticiteit en modified duration
De Dm wordt getypeerd als een bijzondere elasticiteitsmaatstaf. Maar wat is een elasticiteitsmaatstaf? Neem bijvoorbeeld de prijselasticiteit van de vraag naar goederen of diensten (Ep). De formule van deze elasticiteit ziet er in woorden en symbolen als volgt uit:
In de noemer staat de oorzaak en in de teller het gevolg. Het deltateken in de formule (Δp) geeft het verschil aan tussen de nieuwe prijs (Pn) en oude prijs (Po). Het symbool Q of Qv staat voor gevraagde hoeveelheid of quantity. Als subscript in het elasticiteitssymbool E wordt meestal de oorzaak van de verandering genoemd. In dit geval dus de p van prijs. Het gevolg – de gevraagde hoeveelheid (qv) – wordt als superscript weergegeven: E_p^qv. Het superscript qv wordt meestal weggelaten.
Het verband tussen de prijs van een goed en de vraag naar datzelfde goed is negatief, vandaar het minteken. Een negatief verband houdt in: oorzaak (prijs) omhoog, dan het gevolg (de gevraagde hoeveelheid) omlaag. Of vice versa: de prijs omlaag, dan de gevraagde hoeveelheid omhoog. Is bijvoorbeeld de Ep = -2, dan betekent dat: als de oorzaak met 1 procent stijgt, neemt het gevolg met -2 * 1% = -2% af.
Het geschetste inverse mechanisme geldt ook voor de modified duration. Zoals de term Dm al aangeeft, is Dm een aangepaste duration. Dat wil zeggen dat de economische looptijd of D gecorrigeerd moet worden voor de oorspronkelijke marktrente. Kortom: Dm = D/(1+i). Veronderstel nu dat de duration 4 is en de marktrente stijgt van 5 procent naar 6 procent, dan is de Dm = 4/ (1 + 0,05) = 4 /1.05 = 3,81. Dm is een inverse elasticiteitsmaatstaf en betekent: als de oorzaak (een relatieve verandering van de vigerende geldmarktrente) met 1-procentpunt stijgt, neemt het gevolg (de relatieve verandering van de waarde van de desbetreffende vermogenstitel) af met Dm * Δi = 3,81 * 0,01 = 0,0381 = – 3,81%.
Uitgeschreven ziet de vergelijking die de negatieve verhouding of relatie tussen marktrente en de waarde van een vastrentende portefeuille weergeeft er als volgt uit:
Praktijkvoorbeeld
Een financial controller wil – nu de rente sterk stijgt – weten wat de invloed van een renteverandering (oorzaak) is op de waarde van een vastrentende bulletlening ad1 miljoen euro (het gevolg). De contractuele looptijd is 5 jaar. De rente bedraagt 5 procent. De marktrente is eveneens 5 procent. Bereken achtereenvolgens:
- de duration of economische looptijd,
- de modified duration,
- de gevolgen van een marktrentestijging van 1%-punt voor de waarde van lening.
Duration
De som van K3 is precies 1000 (*1000) omdat de marktrente gelijk is aan de vaste rente, nl. 5%. De gewogen CF’s in K4 zijn gesommeerd en geven een duration van: 4545,9503 / 1000 = 4,546 jaar. Uit bovenstaande berekening blijkt dat het niet per se nodig is om de wegingscoefficienten in perunages uit te rekenen, zoals in het eerder uitgewerkte rekenvoorbeeld.
Modified duration
De modified duration: Dm = D (1 + i) = 4,546 / 1,05 = 4,33 jaar.
Gevolgen marktrentestijging
De marktrente stijgt met 1%-punt. Dat betekent dat de marktwaarde van de lening daalt met de factor Dm * Δi = 4,330 (afg.) * 0,01 = – 4,33%.
De volgende stap is de zogeheten duration gap-analyse. Deze complexe methode is geschikt om de marktwaarde van het eigen vermogen te berekenen als gevolg van marktrenteveranderingen. Deze analyse valt echter buiten het bestek van dit artikel.
Auteur: drs. J.G.M. de Vries is directeur van Onderwijsbureau Exsultet, econoom, auteur en financieel trainer
Dit artikel is verschenen in cm: 2023, afl. 2.